حل کنید توروخودا

برای حل این مسئله از قضیه کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید طول راهی که از روستای \(A\) به روستاهای \(B\) و \(C\) کشیده می‌شود به ترتیب \(AB = x\) و \(AC = y\) باشد و زاویه بین آن‌ها \(\theta\) باشد. از متن سوال، می‌دانیم که زاویه ایجاد شده بین جاده‌ها به نحوی است که جاده آسفالت شده بین روستاهای \(B\) و \(C\) فاصله دو روستا از جاده آسفالت برابر است. فرض کنید طول این جاده \(BC = z\) باشد. از قضیه کسینوس‌ها داریم: \[ z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \cos(\theta) \] چون طول دو جاده خاکی (بین \(A\) و \(B\) و بین \(A\) و \(C\)) برابر است، یعنی \(x = y\). در نتیجه رابطه زیر را داریم: \[ z^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \cos(\theta) = 2x^2(1 - \cos(\theta)) \] از طرفی چون فاصله دو روستا از جاده آسفالت برابر است و سوال گفته که زاویه نیم‌ساز ایجاد شده، پس \(\theta\) به‌صورت متقارن تقسیم می‌شود که نشان می‌دهد \( \cos(\theta) = 0\). این نتیجه می‌دهد: \[ z^2 = 2x^2 \] بنابراین \(z = x\sqrt{2}\). نتیجه این که فاصله \(BC = x\sqrt{2}\) و چون \(x = y\)، نشان می‌دهد که جاده‌های خاکی به نحوی ساخته شده‌اند که نیم‌ساز زاویه را تشکیل می‌دهند و منجر به برابری فاصله دو روستا از جاده آسفالت می‌شود.